約瑟夫環(huán)問題
N個人圍成一圈順序編號，從1號開始按1、2、3......順序報數(shù)，報p者退出圈外，其余的人再從1、2、3開始報數(shù)，報p的人再退出圈外，以此類推。
請按退出順序輸出每個退出人的原序號
算法思想
用數(shù)學歸納法遞推。
無論是用鏈表實現(xiàn)還是用數(shù)組實現(xiàn)都有一個共同點：要模擬整個游戲過程，不僅程序?qū)懫饋肀容^煩，而且時間復雜度高達O(nm)，若nm非常大，無法在短時間內(nèi)計算出結果。我們注意到原問題僅僅是要求出最后的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規(guī)，實施一點數(shù)學策略。
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，并不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數(shù)，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續(xù)從0開始報數(shù)。求勝利者的編號。
我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環(huán)（以編號為k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且從k開始報0。
現(xiàn)在我們把他們的編號做一下轉(zhuǎn)換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換后就完完全全成為了(n-1)個人報數(shù)的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據(jù)上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)個人報數(shù)的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況――這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f[i]表示i個人玩游戲報m退出最后勝利者的編號，最后的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
實現(xiàn)方法
一、循環(huán)鏈表
建立一個有N個元素的循環(huán)鏈表，然后從鏈表頭開始遍歷并計數(shù)，如果基數(shù)i == m，則踢出該元素，繼續(xù)循環(huán)，直到當前元素與下一個元素相同時退出循環(huán)
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> typedef struct lnode { int pos; struct lnode *next; } lnode; /** * 構建循環(huán)鏈表&&循環(huán)遍歷 */ void create_ring(lnode **root, int loc, int n) { lnode *pre, *current, *new; current = *root; pre = NULL; while (current != NULL) { pre = current; current = current->next; } new = (lnode *)malloc(sizeof(lnode)); new->pos = loc; new->next = current; if (pre == NULL) { *root = new; } else { pre->next = new; } // 循環(huán)鏈表 if (loc == n) { new->next = *root; } } /** * 約瑟夫環(huán) */ void kickoff_ring(lnode *head, int p) { int i; lnode *pre, *pcur; pre = pcur = head; while (pcur->next != pcur) { for (i = 1; i < p; i ++) { pre = pcur; pcur = pcur->next; } printf("%d ", pcur->pos); pre->next = pcur->next; free(pcur); pcur = pre->next; } printf("%d/n", pcur->pos); free(pcur); } void print_ring(lnode *head) { lnode *cur; cur = head; while (cur->next != head) { printf("%d ", cur->pos); cur = cur->next; } printf("%d/n", cur->pos); } int main() { int i, p, n; lnode *head; while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { // 構建循環(huán)鏈表 for (i = 1, head = NULL; i <= n; i ++) create_ring(&head, i, n); // 約瑟夫環(huán) if (p != 1) kickoff_ring(head, p); else print_ring(head); } return 0; } /**************************************************************
Problem: 1188
User: wangzhengyi
Language: C
Result: Accepted
Time:110 ms
Memory:912 kb
****************************************************************/
二、數(shù)組模擬
思想跟循環(huán)鏈表類似，少了構建循環(huán)鏈表的過程
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> int main() { int i, index, p, n, remain, delete[3001], flag[3001] = {0}; while (scanf("%d %d", &n, &p) != EOF) { remain = n; index = 0; while (remain >= 1) { for (i = 0; i < n; i ++) { if (flag[i] == 0) { // 報數(shù) index ++; // 報p者退出圈外 if (index == p) { // 退出圈外 flag[i] = 1; // 重新報數(shù) index = 0; delete[remain - 1] = i + 1; remain --; } } } } // 輸出每個退出人的序號 for (i = n - 1; i >= 0; i --) { if (i == 0) { printf("%d/n", delete[i]); } else { printf("%d ", delete[i]); } } } return 0; } 三、數(shù)學推導
#include <stdio.h> int main(void) { int i, n, m, last; while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) { // 接收報數(shù) scanf("%d", &m); // 約瑟夫環(huán)問題 for (i = 2, last = 0; i <= n; i ++) { last = (last + m) % i; } printf("%d/n", last + 1); } return 0; } 新聞熱點
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