有人在Quake III的源代碼里面發(fā)現(xiàn)這么一段用來(lái)求平方根的代碼:

/*================SquareRootFloat================*/

float SquareRootFloat(float number) {
    long i;
    float x, y;
    const float f = 1.5F;
    x = number * 0.5F;
    y  = number;
    i  = * ( long * ) &y;
    i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );  //注意這一行
    y  = * ( float * ) &i;
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    y  = y * ( f - ( x * y * y ) );
    return number * y;
}

x5f3759df？ 這是個(gè)什么東西？ 學(xué)過(guò)數(shù)值分析就知道，算法里面求平方根一般采用
的是無(wú)限逼近的方法，比如牛頓迭代法，抱歉當(dāng)年我數(shù)值分析學(xué)的太爛，也講不清楚
。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)比如求5的平方根，選一個(gè)猜測(cè)值比如2，那么我們可以這么算

/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...
這樣反復(fù)迭代下去，結(jié)果必定收斂于sqrt(5)，沒(méi)錯(cuò)，一般的求平方根都是這么算的
。而卡馬克的不同之處在于，他選擇了一個(gè)神秘的猜測(cè)值0x5f3759df作為起始，使得
整個(gè)逼近過(guò)程收斂速度暴漲，對(duì)于Quake III所要求的精度10的負(fù)三次方，只需要一
次迭代就能夠得到結(jié)果。

好吧，如果這還不算牛b，接著看。

普渡大學(xué)的數(shù)學(xué)家Chris Lomont看了以后覺(jué)得有趣，決定要研究一下卡馬克弄出來(lái)的
這個(gè)猜測(cè)值有什么奧秘。Lomont也是個(gè)牛人，在精心研究之后從理論上也推導(dǎo)出一個(gè)
最佳猜測(cè)值，和卡馬克的數(shù)字非常接近, 0x5f37642f。卡馬克真牛，他是外星人嗎？

傳奇并沒(méi)有在這里結(jié)束。Lomont計(jì)算出結(jié)果以后非常滿(mǎn)意，于是拿自己計(jì)算出的起始
值和卡馬克的神秘?cái)?shù)字做比賽，看看誰(shuí)的數(shù)字能夠更快更精確的求得平方根。結(jié)果是
卡馬克贏了... 誰(shuí)也不知道卡馬克是怎么找到這個(gè)數(shù)字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一個(gè)數(shù)字一個(gè)數(shù)字試過(guò)來(lái)，終于找到一個(gè)比卡馬克數(shù)
字要好上那么一丁點(diǎn)的數(shù)字，雖然實(shí)際上這兩個(gè)數(shù)字所產(chǎn)生的結(jié)果非常近似，這個(gè)暴
力得出的數(shù)字是0x5f375a86。

Lomont為此寫(xiě)下一篇論文，"Fast Inverse Square Root"。

我把這個(gè)函數(shù)用C#就行了一下改寫(xiě)：

SquareRootFloat函數(shù)最關(guān)鍵的一句就是 i=0x5f3759df-(i>>1);
以下是對(duì)它的部分解釋?zhuān)?/P>

牛頓迭代法最關(guān)鍵的地方在于估計(jì)第一個(gè)近似根。如果該近似根與真根足夠靠近的話,那么只需要少數(shù)幾次迭代,就可以得到滿(mǎn)意的解。

接著,我們要設(shè)法估計(jì)第一個(gè)近似根。這也是上面的函數(shù)最神奇的地方。它通過(guò)某種方法算出了一個(gè)與真根非常接近的近似根,因此它只需要使用一次迭代過(guò)程就獲得了較滿(mǎn)意的解。它是怎樣做到的呢？所有的奧妙就在于這一行：

i = 0x5f3759df - (i >> 1); // 計(jì)算第一個(gè)近似根

超級(jí)莫名其妙的語(yǔ)句,不是嗎？但仔細(xì)想一下的話,還是可以理解的：float類(lèi)型的數(shù)據(jù)在32位系統(tǒng)上是這樣表示的。

bits：31 30 ... 031：符號(hào)位30-23：共8位,保存指數(shù)（E）22-0：共23位,保存尾數(shù)（M）

所以,32位的浮點(diǎn)數(shù)用十進(jìn)制實(shí)數(shù)表示就是：M*2^E。開(kāi)根然后倒數(shù)就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。現(xiàn)在就十分清晰了。語(yǔ)句i>>1其工作就是將指數(shù)除以2,實(shí)現(xiàn)2^(E/2)的部分。而前面用一個(gè)常數(shù)減去它,目的就是得到M^(1/2)同時(shí)反轉(zhuǎn)所有指數(shù)的符號(hào)。